結果発表

id:dokoiko:20050126のプリキュアカレンダーあげます企画の結果です。id:ghazさん先着正解でした。僕は△AFHを出しておきながら三角錐CAFHの体積が出ませんでした。こう言われてみるとそうなんだよな。

AB=3、BF=2、BC=6の直方体について、頂点Cから△AFHにおろした垂線の長さはいくつか。

以下はid:ghazさんに了解を得て、ghazさんの解法をほぼそのまま掲載しています。一部改行などを変更しています。（解法の大枠）△AFHの面積と三角すいCAFHの体積が分かれば、V=1/3Shより垂線の長さを求めることができる。
1）三角すいCAFHの体積を求める
三角すいCAFHは、直方体から三角すいABCF、ACDH、CFGH、AEFHを取り除いたものである。余分な三角すい4つの体積は、それぞれ直方体の体積を1/6したものである。よって三角すいCAFHの体積は直方体の体積を1/3したものとなる。
三角すいCAFHの体積：3 × 2 × 6 / 3 = 12

2）△AFHの面積を求める。
（大枠）三平方の定理を再帰的に利用する。
AF = √(3 × 3 + 2 × 2) = √13
AH = √(6 × 6 + 2 × 2) = 2√10
FH = √(3 × 3 + 6 × 6) = 3√5
HからAFにおろした垂線とAFの交わる点をGとする。
△AFHについて、底辺をAF、高さをHGとして、それぞれの値を求めて面積を計算する。まずHGを計算する。
HG^2 = AH^2 - AG^2 = FH^2 - (AF-AG)^2
AG = x とおいて、上記AF, AH, FHの値を代入する。
(2√10)^2 - x^2 = (3√5)^2 - (√13-x)^2
40 - x^2 = 45 - {13 - (2√13)x + x^2}
= 45 - 13 + (2√13)x - x^2
(2√13)x - 8 = 0
x = 4 / √13
AGが出たので、ようやくHGを求めることができる。
HG = √(AH^2 - AG^2)
= √{(2√10)^2 - (4 / √13)^2}
= √(40 - 16/13)
= 2√{(130 - 4)/13}
= 6√14 / √13
AFとHGが出たので、△AFHの面積を計算する。
△AFHの面積 = AF × HG / 2
= √13 × 6√14 / √13 / 2
= 3√14
3)体積と底面積が出たので、高さ（求める垂線の長さ）を計算する。
(三角すいCAFHの体積) = (△AFHの面積) × (求める垂線の長さ) / 3
= 12 / 3√14 × 3 = 12 / √14 = 6√14 / 7
（答）6√14 / 7

（別解）※大学入試程度？
頂点Cを原点とし、A, F, H をそれぞれ (3,6,0), (0,6,2), (3,0,2) とおく。
△AFH を含む平面の式を ax + by + cz = d とおくと、
3a + 6b = d
3a + 2c = d
6b + 2c = d
これを解いて、平面の式 2x + y + 3z = 12 を得る。ゆえに平面の法線ベクトルは (2,1,3) であるから、原点を通り△AFHに垂直な直線は媒介変数 t を用いて x=2t, y=t, z=3t で表される。この直線と平面との交点を求める。
2(2t) + t + 3(3t) =12
14t = 12
t = 6/7
(x,y,z) = (12/7, 6/7, 18/7)

原点からの距離は
√(x^2 + y^2 + z^2) = √(144 + 36 + 324)/7 = 6√14 / 7

（答）6√14 / 7